一个简单的二元看涨期权

这并不是说我太聪明了，而是我长时间呆在问题上。 Albert Einstein

一个简单的二元看涨期权

上/下的期权

这并不是说我太聪明了，而是我长时间呆在问题上。
Albert Einstein

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期权(七)：二元期权

注意到，Gamma的零点实际上就是d1的零点，d1=0时N(d1)=0.5，也就是此时欧式看涨期权的Delta=0.5。这是一个很特殊的点，交易员往往会认为“股价等于行权价的期权，对冲的股票数（Delta）为期权的一半”，但其实从d1的公式来看，这只是一个近似处理，因为S=K时只能保证ln(S/K)=0，但后面的项是大于零的，在（r=3%, sigma=20%, tau=1/12）时d1约为0.072（也就是说此时欧式看涨期权的准确Delta会比0.5稍大一点）。

（c）那么Gamma和Vega一定同正同负吗？也不一定，比如，下面的例子（运用了期权(四)写的greek计算函数）。《金融衍生品定价模型——数理金融引论》有一个精彩的说法“Vega相当于Gamma的一个区间积分，Gamma是一个局部性质而Vega是一个整体性质”

多option1空option2的组合，此时的gamma大于0而vega小于0 让前述情况中的股价(一个简单的二元看涨期权 S)变动，画出gamma和vega随着股价变动的图像

期权(七)：二元期权

多option1空option2的组合，此时的gamma大于0而vega小于0 让前述情况中的股价(S)变动，画出gamma和vega随着股价变动的图像

【兴业定量任瞳团队】场外期权系列之二元期权及其理财产品

二元期权（Binary Options）有时也称为二值期权或数字期权，是一种操作简单且非常流行的品种。与一般期权不同，它不具有连续的收益，投资者到期获得的收益为某固定值Q或0，它属于奇异期权的一种，对于奇异期权定价通常采用蒙特卡罗模拟，但由于蒙特卡罗模拟有收敛速度慢，用时较多等缺点，学者也找到了其解析表达式；实际应用中常用以上两种方法对二元期权定价。不考虑权利金时，简单二元期权的到期收益支付结构如下：

2.1.1定价的显式表达式

二元期权显式表达式的推导思想与BS公式相似，假设金融资产收益率服从对数正态分布，通过联立股票期权价格变化的随机微分方程与二元期权的到期收益可以求得其显式解（详细推导请参见报告）。具体地，当到期收益为1时，简单二元期权看涨和看跌期权价格的表达式如下，其中S表示标的资产的价格，K表示期权的行权价，t表示现在时间，T表示期权的行权时间，r表示资本市场无风险利率, σ表示标的资产的波动率,N(·)表示累积标准正态分布函数，c表示看涨期权的价格，p表示看跌期权的价格。

2.1.2 蒙特卡罗模拟

2.1.1提出的显式解假设股票波动率、无风险利率为常数，股票价格完全满足几何布朗运动，假设条件十分严苛；但是在复杂的金融环境中，由于市场动荡，国家政策调整等因素存在，以此定价亦难免存在偏颇。因此在实际应用中，我们常常会尝试一些其他的定价方式。蒙特卡罗是一种通过模拟标的资产价格随机运动路径得到权证价值期望、并将权证的期望价值贴现至现在时点来估计每一个时间点的衍生品价格的数值方法。其优点在于可以对各种复杂衍生产品进行定价，思想较为直接，但是蒙特卡罗有时收敛较慢，当设置的路径条数较多时会影响定价的效率。

2.2 内嵌简单二元期权的理财产品

结构化理财产品是将存款、零息债券等固定收益产品与金融衍生品(一个简单的二元看涨期权如远期、互换、期权等)组合在一起而形成的金融产品，该类型的产品风险相对较低，且能带来高于定期存款的收益，个人投资者和机构投资者均可以参与，所以受众非常广泛。国内的理财产品一般可以分拆成安全级别较高的固定收益产品（通常是零息债券）与利息投资产品（多为期权）。本篇报告以银行实际发行不同种类的内嵌二元期权结构化理财产品为例，对产品进行具体的分析，并对内嵌的二元期权进行定价。

1、固定收益部分 ：无论挂钩标的到期表现如何，投资者都能获取本金4%的年化收益，这一部分可以看作投资者在期初买入一张年化收益率为4%的零息债券。

2、二元期权部分 ：此部分也称为挂钩收益部分，根据上表的收益率说明不难看出，该产品的挂钩收益部分本质上是一个二元期权：在理财产品的收益起始日（2018年4月13日），确定黄金的报价为272.1元/克；在理财产品到期日（2018年10月11日）若黄金的价格高于期初价格，那么该理财产品的投资者可以在4%的固定收益基础上获得1.6%的额外期权挂钩收益，即年化收益率为5.6%；反之若到期时黄金的价格不高于期初的价格，投资者只能获得固定收益率4%，二元期权部分不能获得收益。

2.3 内嵌逐日计息的二元期权理财产品

上文理财产品中内嵌的二元期权，是根据标的资产到期时的价格决定挂钩部分的收益，本节将引入一种逐日计息类产品， 其产品的收益不是根据到期日标的价格的表现来决定，而是根据存续期标的在约定价格区间日期数量的多少来决定收益。 下面将以某银行2015年发行的黄金表现联动（区间累积型）理财产品为例，对此类产品进行分析。

1、固定收益部分 ：到期固定收益部分没有利息，产品返回全部本金，即对理财产品的本金用当时的无风险利率2.3%贴现。

2、逐日计息的二元期权 ：在理财产品的收益起始日（2015年7月23日），确定黄金1512期货合约的收盘价格为221.10；在存续期的每个交易日，若期货的收盘价在 [216.10, 226.10]范围内，那么该理财产品的投资者可以获得7%的日挂钩收益；反之若黄金期货的价格不在此范围内，当日无收益。到期计算整个存续期在约定范围内的天数计算总收益率。（约定的期货范围数据为假设数据，仅为展示作用）。

二元期权组合及其理财产品

3.1 二元期权组合

多空组合

3.2 内嵌二元期权组合的理财产品

1、固定收益部分 ：无论挂钩标的到期表现如何，投资者都能获取本金1.55%的年化收益，这一部分可以看作投资者在期初买入一份年化收益率为1.55%的零息债券。

2、二元期权组合 ：此部分也称为挂钩收益部分，根据上表的收益率说明，该产品的挂钩收益部分本质上是一个二元期权的多空组合：理财产品的收益起始日（2018年4月4日），黄金（伦敦金）的收盘价格为1337.30美金/盎司；在理财产品到期日（2018年10月10日）若黄金的单价在 [837.30,1837.30]范围内，那么该理财产品的投资者可以在1.55%的固定收益基础上获得2.85%的额外期权挂钩收益，即年化收益率为4.4%；反之若到期时黄金的价格不在此范围内，投资者只能获得固定收益率1.55%，二元期权部分不能获得收益。该二元期权组合可以看作是标的为黄金，行权价为837.30的二元看涨期权的多头与行权价为1837.30的二元看涨期权的空头组合，且两期权约定的到期收益与该理财产品的额外期权挂钩收益相等，该产品是上文中二元期权多空组合的实际应用，且M=N=2.85%。

二元期权的对冲

二元期权的收益本身不连续，所以很难通过连续回报的常规结构来对冲，但是对于机构投资者而言，期权的风险管理却是必不可少的。在实际交易中，二元期权常见的对冲方法有以下几种： 发行反向的二元期权、传统的Delta对冲、复制价差期权等 。